Modelo Lineal

En estadística, el término modelo lineal es usado en diferentes maneras de acuerdo al contexto. La manera más frecuente es en conexión con modelos de regresión y el término a menudo se toma como un sinónimo del modelo de regresión lineal. Sin embargo, el término es también usado en análisis de series de tiempo con un significado diferente. En cada caso, la denominación como "lineal" es usada para identificar una subclase de modelos para los cuales la reducción en complejidad de la teoría estadística relacionada es posible.

Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia tiene la forma:
y = f(x) = mx + b

Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la recta interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los números reales.

Modelos de Regresión Lineal

Para el caso de regresión, el modelo estadístico es como sigue: un modelo lineal predice el valor de una variable a través de otras que llamaremos factores mediante una función lineal de estos.¹ Estos factores están determinados por el escenario donde observamos la variable a predecir, a la cual llamaremos variable endógena. Dada una muestra (aleatoria) ${\displaystyle (Y_{i},X_{i1},\ldots ,X_{ip}),\,i=1,\ldots ,n}$ la relación entre las observaciones Y_i y las variables independientes X_ij se fórmula como

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})+\varepsilon _{i}\qquad i=1,\ldots ,n}$

donde ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p}}$ pueden ser funciones no lineales. En la ecuación anterior, las cantidades ε_i son variables aleatorias representando errores en la relación. La parte "lineal" se refiere a la apariencia de los coeficientes de regresión, β_j en esta ecuación. Alternativamente, se puede decir que los valores ajustados correspondientes al anterior modelo, notados

${\displaystyle {\hat {Y}}_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})\qquad (i=1,\ldots ,n),}$

son funciones lineales de los β_j.

Dado que la estimación se toma en la base de un análisis de mínimos cuadrados, las estimaciones de los parámetros desconocidos β_j se determinan al minimizar una función de suma de cuadrados

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})-\cdots -\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})\right)^{2}.}$

Por lo tanto, se puede ver que el aspecto "lineal" del modelo implica lo siguiente:

• la función a ser minimizada es una función cuadrática de los β_j para lo cual el problema de minimización es relativamente simple;
• las derivadas de la función son funciones lineales de los β_j haciendo fácil de encontrar los valores estimados que la minimizan;
• los valores estimados de β_j son funciones lineales de las observaciones Y_i;
• los valores estimados de β_j son funciones lineales de los errores aleatorios ε_i lo cual hace relativamente fácil determinar sus propiedades estadísticas.

Morales García Melissa Sayuri